Distribución Log-Normal
La distribución que mejor modela precios de activos financieros — asimétrica positiva, incapaz de ser negativa, y la base de Black-Scholes.
Lognormal = log(Normal)
Una variable X sigue una distribución lognormal si su logaritmo natural ln(X) sigue una distribución normal. Dicho de otra forma: si Y es normal con media μ y desviación σ, entonces X = e^Y es lognormal. Esto tiene dos implicaciones inmediatas y fundamentales: (1) la lognormal siempre toma valores positivos, porque e^Y > 0 para todo Y real; (2) la lognormal es asimétrica con cola larga al lado derecho (valores grandes). Los parámetros de la lognormal son heredados del log: μ (la media del log) y σ (la desviación del log). Pero la media y desviación de la X original (no del log) son distintas: E[X] = e^(μ + σ²/2) y Var[X] = (e^(σ²) - 1) × e^(2μ + σ²). La densidad de probabilidad es: f(x) = (1 / (xσ√(2π))) × e^(-(ln(x) - μ)² / 2σ²) para x > 0. La forma gráfica: parte de 0, sube al pico (moda), y decae al lado derecho con cola más larga y más gorda que la normal. Para σ pequeñas (ej. 0.1), la lognormal se ve casi como una normal desplazada; para σ grandes (ej. 1.0), la asimetría es muy pronunciada.
Por Qué los Precios son Lognormales
La asunción de que los precios de activos siguen una distribución lognormal tiene justificación teórica y empírica. Teóricamente, si las rentabilidades capitalizadas de forma continua (logarítmicas) son iid con distribución normal, entonces los precios son lognormales. Esto sigue directamente del hecho de que la suma de normales es normal, y el exponencial de normal es lognormal. Empíricamente, la lognormal captura varias propiedades importantes de precios reales: (1) precios positivos —un precio no puede ser negativo (dejando aparte casos excepcionales como los futuros del crudo en abril de 2020); la normal permitiría precios negativos, la lognormal no; (2) asimetría al alza: los precios pueden subir sin límite, pero solo pueden caer hasta 0; esto sugiere asimetría positiva; (3) la capitalización compuesta: si una acción baja un 50% y luego sube un 50%, no vuelves al original ($100 → $50 → $75), comportamiento consistente con lognormal más que con normal. La lognormal es la base matemática del Geometric Brownian Motion (GBM), el modelo estocástico que Black-Scholes usa para describir la dinámica del subyacente: dS/S = μ·dt + σ·dW, donde W es un proceso de Wiener. La solución de esa ecuación diferencial estocástica es S(t) = S(0) × exp((μ - σ²/2)t + σ·W(t)), es decir, S(t) es lognormal en cualquier t.
Asimetría Positiva y sus Consecuencias
Una propiedad crítica de la lognormal es su asimetría positiva: la cola al lado derecho es más larga. Esto tiene consecuencias prácticas importantes para trading de opciones y análisis de retornos. (1) Media > Mediana > Moda: a diferencia de la normal donde los tres coinciden, en una lognormal la media (promedio esperado) es mayor que la mediana (percentil 50%), que a su vez es mayor que la moda (valor más frecuente). Si la μ del log es 0 y σ es 1: moda ≈ 0.37, mediana = 1.00, media ≈ 1.65. (2) Rendimiento esperado mayor que el mediano: si los rendimientos son lognormales, el rendimiento esperado de un activo supera al mediano. Esto es importante para planificación financiera: el 50% de los inversores tendrán retornos por debajo del promedio cuando las distribuciones tienen asimetría positiva, algo que resulta contraintuitivo. (3) El efecto de la capitalización: la asimetría positiva implica que pequeños retornos compuestos consistentemente pueden generar grandes ganancias finales; esto es la matemática detrás del "milagro del interés compuesto". (4) Supervivencia en carteras: con varias apuestas lognormales independientes, la media de la cartera no coincide con su mediana, porque la mayor parte del rendimiento procede de los resultados de cola, no de los centrales. Esta es la matemática detrás del capital riesgo y de la inversión en cola larga.
Implicaciones en Valoración de Opciones
La asunción lognormal tiene implicaciones directas en valoración de opciones. En Black-Scholes, la probabilidad de que una call termine ITM no es simplemente 50% cuando S = K (ATM) —es ligeramente mayor porque la distribución es asimétrica al upside. Esto es consistente con la observación empírica de que las calls ATM tienen un delta de entre 0,50 y 0,54 (no exactamente 0.50). Las implicaciones prácticas: (1) Probabilidad ITM para calls vs puts —un call ATM tiene probabilidad ligeramente superior de terminar ITM que un put ATM equivalente, debido a la asimetría positiva de la lognormal; (2) Asimetría en los resultados esperados: una call comprada tiene recorrido ilimitado, porque la lognormal admite precios arbitrariamente altos, mientras que un put comprado lo tiene acotado al strike, porque el precio no puede ser negativo; de ahí nace la asimetría natural entre calls y puts; (3) La predicción teórica sobre la sonrisa: Black-Scholes con σ constante predice una sonrisa completamente plana, pero en mercados reales los puts OTM son más caros (skew negativo en renta variable). Esto es consistente con que los operadores saben que la distribución real tiene más colas gruesas a la baja que la lognormal pura predice. Los modelos más sofisticados —Heston, SABR, los saltos de Merton— incorporan esa realidad.
Fat Tails: Cuando Ni Lognormal es Suficiente
Incluso la lognormal, que mejora significativamente sobre la normal al modelar precios, subestima sistemáticamente el riesgo de cola real. Los rendimientos logarítmicos observados en los mercados muestran un exceso de curtosis persistentemente mayor que la lognormal predice. Esto ha motivado el desarrollo de modelos con distribuciones de colas más gruesas: (1) La distribución t de Student, con su parámetro de grados de libertad ν: con ν=3 la curtosis es infinita y con ν=∞ es la normal; un ν de entre 4 y 6 recoge bien las colas gruesas observadas. (2) La hiperbólica generalizada, muy flexible: incluye como casos particulares la normal, la t de Student, la de Laplace y la gaussiana inversa. (3) Las distribuciones estables de Lévy, que admiten colas tan pesadas como se quiera, aunque a costa de que la varianza pueda ser infinita: una propiedad incómoda pero realista en algunos mercados. (4) Los modelos de difusión con saltos: Black-Scholes más saltos de Poisson. Merton (1976) fue el primero y Kou (2002) añadió asimetría a los saltos. Recogen los eventos discretos —huecos por resultados, sacudidas por noticias— que la difusión pura no puede. (5) La gamma de varianza y la gaussiana inversa normal, modelos basados en procesos de Lévy. En la práctica, los creadores de mercado sofisticados usan modelos híbridos que combinan volatilidad estocástica y saltos, calibrados a la superficie completa de volatilidades implícitas. Para el operador minorista, la conclusión es pragmática: los modelos con asunción lognormal subestiman el riesgo; siempre añade un margen de seguridad en dimensionamiento de la posición.
Uso Práctico en Análisis y Trading
La distribución lognormal tiene aplicaciones diarias en trading y análisis. (1) Cálculo del movimiento esperado: para un horizonte T, el movimiento de una desviación estándar ronda S × σ × √T (asumiendo retornos lognormales con σ constante). Es la base del movimiento esperado que se cotiza ante resultados o eventos. (2) Conos de probabilidad: representaciones del rango probable de precios futuros. El cono se abre como un embudo logarítmico, reflejando la asimetría de la lognormal, con más recorrido porcentual al alza que a la baja. (3) Monte Carlo para valorar exóticas: simular miles de paths lognormales y promediar payoffs es una técnica estándar para opciones exóticas sin fórmula cerrada. (4) Proyecciones de cartera: Monte Carlo de valor terminal asumiendo retornos lognormales es el estándar de los programas de planificación financiera. (5) Valoración neutral al riesgo: para valoración, usamos la lognormal neutral al riesgo, con deriva r en lugar de la μ real, no la distribución real del mundo físico. Esta distinción es técnica pero central: la densidad neutral al riesgo implícita en los precios de las opciones suele tener colas más gruesas que la lognormal pura, reflejando la prima que los creadores de mercado cobran por el riesgo de cola. (6) Comparación de activos: comparar retornos anualizados de dos activos es más significativo si asumes lognormalidad —las rentabilidades compuestas son aditivas en el espacio logarítmico, no en el de precios.