Distribución Log-Normal
La distribución que mejor modela precios de activos financieros — asimétrica positiva, incapaz de ser negativa, y la base de Black-Scholes.
Lognormal = log(Normal)
Una variable X sigue una distribución lognormal si su logaritmo natural ln(X) sigue una distribución normal. Dicho de otra forma: si Y es normal con media μ y desviación σ, entonces X = e^Y es lognormal. Esto tiene dos implicaciones inmediatas y fundamentales: (1) la lognormal siempre toma valores positivos, porque e^Y > 0 para todo Y real; (2) la lognormal es asimétrica con cola larga al lado derecho (valores grandes). Los parámetros de la lognormal son heredados del log: μ (la media del log) y σ (la desviación del log). Pero la media y desviación de la X original (no del log) son distintas: E[X] = e^(μ + σ²/2) y Var[X] = (e^(σ²) - 1) × e^(2μ + σ²). La densidad de probabilidad es: f(x) = (1 / (xσ√(2π))) × e^(-(ln(x) - μ)² / 2σ²) para x > 0. La forma gráfica: parte de 0, sube al pico (moda), y decae al lado derecho con cola más larga y más gorda que la normal. Para σ pequeñas (ej. 0.1), la lognormal se ve casi como una normal desplazada; para σ grandes (ej. 1.0), la asimetría es muy pronunciada.
Por Qué los Precios son Lognormales
La asunción de que los precios de activos siguen una distribución lognormal tiene justificación teórica y empírica. Teóricamente, si los retornos continuously compounded (log returns) son iid con distribución normal, entonces los precios son lognormales. Esto sigue directamente del hecho de que la suma de normales es normal, y el exponencial de normal es lognormal. Empíricamente, la lognormal captura varias propiedades importantes de precios reales: (1) precios positivos —un precio no puede ser negativo (excluyendo casos exóticos como oil futures abril 2020); la normal permitiría precios negativos, la lognormal no; (2) asimetría al upside —los precios pueden subir sin límite, pero solo pueden caer hasta 0; esto sugiere asimetría positiva; (3) compound returns —si un stock baja 50% y luego sube 50%, no vuelves al original ($100 → $50 → $75), comportamiento consistente con lognormal más que con normal. La lognormal es la base matemática del Geometric Brownian Motion (GBM), el modelo estocástico que Black-Scholes usa para describir la dinámica del subyacente: dS/S = μ·dt + σ·dW, donde W es un Wiener process. La solución de esta SDE es S(t) = S(0) × exp((μ - σ²/2)t + σ·W(t)), es decir, S(t) es lognormal en cualquier t.
Asimetría Positiva y sus Consecuencias
Una propiedad crítica de la lognormal es su asimetría positiva (positive skew): la cola al lado derecho es más larga. Esto tiene consecuencias prácticas importantes para trading de opciones y análisis de retornos. (1) Media > Mediana > Moda: a diferencia de la normal donde los tres coinciden, en una lognormal la media (promedio esperado) es mayor que la mediana (percentil 50%), que a su vez es mayor que la moda (valor más frecuente). Si la μ del log es 0 y σ es 1: moda ≈ 0.37, mediana = 1.00, media ≈ 1.65. (2) Expected return > median return: si los retornos son lognormales, el retorno esperado de un activo es mayor que el mediano. Esto es importante para planificación financiera: el 50% de los inversores tendrán retornos por debajo del promedio cuando las distribuciones son skewed positivas, lo cual es contraintuitivo. (3) Efecto del compounding: la asimetría positiva implica que pequeños retornos compuestos consistentemente pueden generar grandes ganancias finales; esto es la matemática detrás del "milagro del interés compuesto". (4) Survivorship en portfolios: si tienes múltiples apuestas independientes lognormales, la media del portafolio no es la mediana —la mayor parte del retorno viene de los outcomes de cola, no de los medianos. Esta es la matemática detrás del venture capital y del long-tail investing.
Implicaciones en Valoración de Opciones
La asunción lognormal tiene implicaciones directas en valoración de opciones. En Black-Scholes, la probabilidad de que una call termine ITM no es simplemente 50% cuando S = K (ATM) —es ligeramente mayor porque la distribución es asimétrica al upside. Esto es consistente con la observación empírica de que ATM calls tienen delta ~0.50-0.54 (no exactamente 0.50). Las implicaciones prácticas: (1) Probabilidad ITM para calls vs puts —un call ATM tiene probabilidad ligeramente superior de terminar ITM que un put ATM equivalente, debido a la asimetría positiva de la lognormal; (2) Asymmetry en expected payoffs —long calls tienen upside ilimitado (lognormal permite precios arbitrariamente altos), long puts tienen upside limitado a K (precio no puede ir negativo); esto genera asimetría natural en risk/reward de calls vs puts; (3) Volatility smile theoretical prediction —Black-Scholes con σ constante predice un smile completamente plano, pero en mercados reales los puts OTM son más caros (volatility skew negativo en equity). Esto es consistente con que los operadores saben que la distribución real tiene más fat tails al downside que la lognormal pura predice. Modelos más sofisticados (Heston, SABR, Merton jumps) incorporan esta realidad.
Fat Tails: Cuando Ni Lognormal es Suficiente
Incluso la lognormal, que mejora significativamente sobre la normal al modelar precios, subestima sistemáticamente el tail risk real. Los log-returns empíricos de mercados financieros muestran excess kurtosis persistentemente mayor que la lognormal predice. Esto ha motivado el desarrollo de modelos con distribuciones más fat-tailed: (1) Student-t distribution —tiene parámetro "degrees of freedom" (ν); ν=3 tiene kurtosis infinita, ν=∞ es normal; un ν entre 4 y 6 captura bien los fat tails empíricos. (2) Generalized hyperbolic distribution —flexible, abarca normal, Student-t, Laplace, normal-inverse Gaussian como casos especiales. (3) Levy stable distributions —permiten colas tan pesadas como quieras, pero varianza puede ser infinita (propiedad perturbadora pero realista para algunos mercados). (4) Jump-diffusion models —Black-Scholes + Poisson jumps. Merton (1976) fue el primero; Kou (2002) agregó asimetría a los saltos. Estos capturan eventos discretos (earnings gaps, news shocks) que la diffusion no puede. (5) Variance gamma y NIG —modelos basados en procesos de Lévy. En la práctica, los market makers sofisticados usan modelos híbridos (stochastic volatility + jumps como SVJ, SVCJ) calibrados a la superficie completa de volatilidades implícitas. Para el trader retail, la conclusión es pragmática: los modelos con asunción lognormal subestiman el riesgo; siempre añade un margen de seguridad en position sizing.
Uso Práctico en Análisis y Trading
La distribución lognormal tiene aplicaciones diarias en trading y análisis. (1) Expected move calculation: para un horizonte T, el expected 1σ move del precio es aproximadamente S × σ × √T (asumiendo retornos lognormales con σ constante). Esto es la base de los "expected move" cotizados para earnings o eventos. (2) Probability cones: visualizaciones de rangos probables de precio futuros —el "cono" se abre en forma de embudo logarítmico, reflejando la asimetría de la lognormal (upside wider que downside percentualmente). (3) Monte Carlo para pricing exotics: simular miles de paths lognormales y promediar payoffs es una técnica estándar para opciones exóticas sin fórmula cerrada. (4) Portfolio projections: Monte Carlo de valor terminal asumiendo retornos lognormales es el standard de financial planning software. (5) Risk-neutral pricing: para valoración, usamos "risk-neutral" lognormal (con drift r en lugar de μ real), no la distribución real del mundo físico. Esta distinción es técnica pero central: la risk-neutral density implícita en precios de opciones típicamente tiene colas más gordas que la lognormal pura, reflejando el premium que los market makers cobran por tail risk. (6) Comparación de assets: comparar retornos anualizados de dos activos es más significativo si asumes lognormalidad —compounded returns son aditivos en el log space, no en el price space.